Intégrale curviligne

Intégrale curviligne








En mathématiques, l'intégrale curviligne
est une intégrale où la fonction à intégrer est évaluée sur
une courbe.

Sommaire

Analyse complexe[modifier]


L'intégrale curviligne est un des outils de base de l'analyse complexe. Si U est un ouvert du plan
complexe, f une fonction continue de U dans C
et γ un arc paramétré continûment dérivable tracé de [a,b]
dans U on définit l'intégrale de f le long de γ en
écrivant une intégrale de variable réelle

Lorsque γ est une courbe fermée (ses deux extrémités coïncident) il arrive
qu'on utilise la notation suivante


Exemple[modifier]


Soit la fonction f(z)=1/z, et soit C le cercle unité parcouru une fois dans le sens trigonométrique,
ce qui peut se paramétrer par e^it, avec t
parcourant [0, 2π]. L'intégrale correspondante est


Extension aux arcs rectifiables[modifier]


Plus généralement, si γ est un arc rectifiable, on peut définir
l'intégrale curviligne

en introduisant une subdivision de segment [a,b] de la forme a
= t₀ < t₁ < ... < t_n
= b et en cherchant la limite des expressions de la forme

lorsque la subdivision a ses longueurs qui tendent vers 0.


Propriétés


Les propriétés fondamentales des intégrales curvilignes sont le théorème intégral de Cauchy et
la formule intégrale de Cauchy, qui
permettent d'établir le théorème des résidus.


Analyse vectorielle


Pour un champ scalaire ,
l'intégrale curviligne le long de la courbe ,
paramétrée par
avec
est définie par :

De plus la longueur L de l'arc
est donnée par:
.
De même pour un champ vectoriel
la circulation le long de la courbe ,
paramétrée par
avec
est définie par :