Intégrale de Kurzweil-Henstock

Intégrale de Kurzweil-Henstock








En mathématiques, et plus précisément en analyse, l'intégrale de
Kurzweil-Henstock (ou KH-intégrale, ou intégrale de jauge)
a été mise au point dans les années 1950 dans le but de présenter une
théorie de l'intégration à
peine plus compliquée à exposer que l'intégrale de Riemann, mais aussi
puissante que l'intégrale de Lebesgue. Elle est
équivalente aux intégrales de Denjoy
ou de Perron datant des années 1910, mais dont la présentation
était assez lourde et qui étaient tombées en désuétude dans les années
1940.

Par rapport à l'intégrale de Lebesgue, la KH-intégrale présente
l'avantage que toute fonction dérivée
est intégrable, et qu'il n'est pas nécessaire d'introduire la notion d'intégrale impropre. Elle permet
d'introduire dès les premières années de l'enseignement supérieur^[1]
une intégrale dotée de théorèmes puissants et fort proche de
l'intégrale de Lebesgue (qu'il est facile d'introduire ensuite comme un
cas particulier).

Sommaire [masquer] 1 Définitions 2 Propriétés 3 Note et références 3.1 Note 3.2 Références 4 Articles connexes

Définitions [modifier]

• Soit [a, b] un segment de .
  On appelle subdivision marquée de [a, b] tout
  couple de familles finies de points
  et
  telles que
  
  On
  dit que
  marque le segment .
  

• Si
  est une fonction définie sur [a, b] à valeurs strictement
  positives, on dit que
  est une jauge (sur [a, b]), et la subdivision est
  dite plus fine que
  si
  

Un théorème important, le lemme de Cousin, est fréquemment utilisé dans la théorie de
la KH-intégration ; il affirme que, quelle que soit la jauge choisie, il
existe des subdivisions marquées plus fine que cette jauge.

• Une fonction f bornée ou non sur un segment [a, b],
  à valeurs réelles ou complexes, est intégrable au sens de
  Kurzweil-Henstock (ou KH-intégrable), d'intégrale A, si
  
  il existe une jauge
  telle que, pour toute subdivision
  marquée par
  plus fine que ,
  on a :
  
  A
  est alors unique et s'appelle l'intégrale de f sur [a, b].
  On la note alors
  

• La quantité
  s'appelle somme de Riemann de f relativement à la
  subdivision marquée choisie.
  

On remarque que, si on prend des jauges
constantes, on retrouve la définition de l'intégrale de Riemann. La KH-intégrale
consiste à remplacer ces jauges constantes par des jauges variables.

• Dans le cas où f est définie sur un intervalle I
  qui n'est pas un segment, on dit que f est KH-intégrable
  d'intégrale A, si
  ,
  il existe une jauge
  et un nombre ,
  tels que, pour toute subdivision
  marquée par ,
  plus fine que
  sur tout segment contenant
  on a :
  
  

Propriétés [modifier]

• L'ensemble des fonctions KH-intégrables forme un espace
  vectoriel et l'intégrale est une forme linéaire positive sur cet espace.
  
• Toute fonction Riemann-intégrable ou Lebesgue-intégrable est KH-intégrable
  avec la même intégrale ; en particulier, la fonction de Dirichlet valant 1 sur les
  rationnels et 0 sur les irrationnels, n'est pas Riemann-intégrable,
  mais est KH-intégrable d'intégrale nulle.
  
• De même, la fonction
  sur
  n'est pas Lebesgue-intégrable, mais c'est une intégrale (au sens de
  Riemann) impropre convergente, et elle est donc KH-intégrable
  (d'intégrale ;
  il s'agit de l'intégrale de Dirichlet).
  Contrairement aux fonctions Lebesgue-intégrables, une fonction peut être
  KH-intégrable sans que sa valeur absolue le soit.
  
• Une fonction
  est Lebesgue-intégrable si et seulement si
  et
  sont KH-intégrables (ce qui permet de définir la notion d'ensemble
  mesurable (pour la mesure de Lebesgue) comme un ensemble dont la fonction
  caractéristique est KH-intégrable). Il ne suffit pas que
  soit KH-intégrable pour que
  le soit. Si
  est KH-intégrable et si
  est majorée par une fonction KH-intégrable, alors
  est KH-intégrable.
  
• Le théorème fondamental de
  l'analyse s'exprime comme suit :
  
  
  
  • Soit
    dérivable sur
    de dérivée .
    Alors
    est KH-intégrable et
    
  • Soit
    KH-intégrable. Alors la fonction
    est continue et admet presque partout
    une dérivée égale à .
    
  
  


• La notion d'intégrale impropre est inutile avec la
  KH-intégrale. En effet, soit
  est une fonction définie sur
  et telle que, pour tout
  élément de ,
  
  est KH-intégrable sur .
  Si
  existe et vaut ,
  alors
  est KH-intégrable sur
  et son intégrale vaut .
  
• Le théorème de convergence
  monotone et le théorème de convergence dominée
  sont vrais avec la KH-intégrale, ce dernier devenant plus précisément
  un théorème de convergence encadrée (la raison étant que
  l'intégrabilité de
  n'entraîne pas celle de