Table des matières
1 Introduction aux équations de Lagrange
1.1 Equations de Lagrange pour une particule
1.1.1 Equations de Lagrange
1.1.2 Cas des systèmes conservatifs
1.1.3 Cas des forces de frottement dépendant de la vitesse
1.1.4 Cas d'une force extérieure dépendant du temps
1.2 Système à plusieurs degrés de liberté
1.3 Exercices
2 Oscillations libres des systèmes à un degré de liberté
2.1 Oscillations non amorties
2.1.1 Oscillateur linéaire
2.1.2 Energie cinétique
2.1.3 Energie potentielle
2.1.4 Equation différentielle
2.1.5 Résolution de l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique simple
2.2 Oscillations libres des systèmes amortis à un degré de liberté
2.2.1 Equation de Lagrange pour les systèmes dissipatifs
2.2.2 Cas particulier des oscillations de faible amplitude
2.2.3 Résolution de l'équation di érentielle
2.3 Exercices
3 Oscillations forcées des systèmes à un degré de liberté
3.1 Equation différentielle
3.2 Système masse-ressort-amortisseur
3.3 Solution de l'équation différentielle
3.3.1 Cas particulier où A(t) = A0 cos(t)
3.3.2 Cas d'une excitation périodique
3.4 Impédance mécanique
3.4.1 Définition
3.4.2 Impédances mécaniques
3.4.3 Puissance
3.4.4 Applications
3.5 Exercices
4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté
4.1 Introduction
4.2 Systèmes à deux degrés de liberté
4.2.1 Système masses-ressorts en translation
4.2.2 Cas particulier de deux oscillateurs identiques
4.2.3 Pendules couplés
4.3 Exercices
5 Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté
5.1 Equations de Lagrange
5.2 Système masses-ressorts-amortisseurs
5.2.1 Equations di érentielles
5.2.2 Etude du régime permanent sinusoïdal
5.3 Impédance
5.4 Application
5.5 Exercices
6 Généralités sur les phénomènes de propagation
6.1 Propagation à une dimension
6.1.1 Equation de propagation
6.1.2 Solution de l'équation de propagation
6.1.3 Onde progressive sinusoïdale
6.1.4 Superposition de deux ondes progressives sinusoïdales
6.1.5 Vitesse de phase
6.1.6 Vitesse de groupe
6.1.7 Onde vectorielle
6.2 Propagation dans l'espace à trois dimensions
6.2.1 Equation de propagation
6.2.2 Onde plane progressive sinusoïdale
6.3 Exercices
7 Cordes vibrantes
7.1 Equation des ondes
7.2 Ondes progressives harmoniques
7.2.1 Définition
7.2.2 Force en un point
7.2.3 Impédance
7.3 Oscillations libres d'une corde de longueur nie
7.4 Ré exion et transmission
7.4.1 Ré exion et transmission entre deux cordes semi-in nies
7.4.2 Ré exion sur une impédance quelconque
7.5 Exercices
8 Ondes élastiques dans les solides
8.1 Propriétés élastiques des solides
8.1.1 Déformation
8.1.2 Contrainte moyenne
8.1.3 Loi de Hooke
8.1.4 Coe cient de Poisson
8.1.5 Loi de Hooke pour les forces tangentielles
8.2 Onde plane longitudinale
8.2.1 Equation de propagation
8.2.2 Ondes progressives harmoniques
8.2.3 Ré exion et transmission
8.2.4 Oscillations libres d'un barreau
8.2.5 Oscillations forcées d'un barreau de longueur nie
8.3 Ondes élastiques transversales
8.4 Modèle de la chaîne linéaire
8.4.1 Modélisation microscopique du problème et mise en équations
8.4.2 Solution en régime permanent sinusoïdal
8.4.3 L'approximation d'un milieu continu
8.5 Exercices
9 Ondes acoustiques dans les fluides
9.1 Introduction
9.2 Equation d'onde
9.3 Vitesse du son
9.4 Onde progressive sinusoïdale
9.4.1 Définition
9.4.2 Impédance acoustique
9.4.3 Energie acoustique
9.5 Ré exion-Transmission
9.6 Exercices
A Equations différentielles
A.1 Introduction
A.2 Equation homogène
A.2.1 Régime fortement amorti ( > !0 )
A.2.2 Régime critique ( = !O )
A.2.3 Régime pseudo-périodique ( < !0 )
A.3 Equation avec second membre
A.3.1 Solution générale
A.3.2 Cas particulier où A(t) est constante
A.3.3 Cas particulier où A(t) = A0 cos(t) :
A.3.4 Cas où A(t) est une fonction périodique du temps
B Compléments de mathématiques
B.1 Fonctions trigonométriques
B.2 Séries de Fourier
B.3 Nombres complexes
B.4 Equations di érentielles
C Dynamique du solide en rotation autour d'un axe
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