Analyse Dérivée complexe
La définition de la dérivée complexe est en tout point semblable à
celle de la dérivée réelle, si ce n'est que les opérations de corps (-,
/) sont remplacées par celles des complexes :
La dérivabilité complexe a des conséquences beaucoup plus fortes que
celle de la dérivabilité réelle. Par exemple, toute fonction holomorphe
est développable en série entière sur tout disque ouvert inclus dans son
domaine de définition qui doit être un ouvert, et est ainsi équivalente à
une fonction analytique. En particulier, les
fonctions holomorphes sont indéfiniment dérivables, ce qui en général
n'est pas le cas pour les fonctions réelles dérivables. La plupart des
fonctions élémentaires, telles que les fonctions polynomiales, la
fonction exponentielle, et les fonctions trigonométriques, sont
holomorphes.
Certaines opérations en revanche posent des difficultés nouvelles,
ainsi la recherche de primitive ou de fonction réciproque,
et a fortiori la résolution d'équation différentielle. La nature
topologique du domaine de définition (questions de connexité, de simple connexité) est à prendre en
compte pour pouvoir effectuer ces opérations
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