Définition du cas réel à partir de l'aire sous la courbe

Définition du cas réel à partir de l'aire sous la courbe[modifier]








Si f est une fonction
réelle positive continue prenant ses valeurs dans un segment I = [0,a], alors l'intégrale
de f sur I, notée



est l'aire d'une surface délimitée par la
représentation graphique de f
et par les trois droites d'équation x
= 0, x = a, y = 0, surface notée S_f. (Voir schéma ci-contre.)



On donne un signe positif à l'aire des surfaces comme S_f situées au-dessus de l'axe des
abscisses. Pour pouvoir traiter aussi les fonctions négatives, on donne
un signe négatif aux portions situées sous cet axe.

Ainsi, pour définir l'intégrale d'une fonction continue dans le cas
général (positive ou négative), il suffit de définir f ⁺ et f ^– comme suit :

puis de définir l'intégrale de f
à partir de f ⁺
et f ^–, fonctions
continues et positives :

Plus précisément, définir l'aire de cette surface consiste, dans la
définition de la théorie de Riemann, à approcher f par une suite de fonctions g_n dont on connait l'intégrale (en
général : des rectangles qu'on définit d'aire ± longueur × largeur) et telle que la différence entre f et g_n
tende vers 0 quand n tend vers l'infini.

Il se trouve qu'avec cette méthode, il est possible de définir l'aire
d'une fonction continue présentant avec un ensemble dénombrable de points de discontinuité.

On appelle f un intégrande^[2],
et on note ∫ (un s allongé, mis pour somme) l'opérateur mathématique, appelé
intégrateur, qui est associé à l'intégration. Ce symbole est un ancien s long :
en effet, Leibniz s'est servi de
l'initiale du mot latin summa, « somme », lequel était le plus
souvent écrit ſumma. À la différence du s long, ∫,
en typographie, garde toujours une hampe descendant au-dessous de la
ligne de base, en romaine comme en italique.