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 Définition du cas réel à partir de l'aire sous la courbe

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jeun
admin
jeun


Masculin

Définition du cas réel à partir de l'aire sous la courbe Empty
MessageSujet: Définition du cas réel à partir de l'aire sous la courbe   Définition du cas réel à partir de l'aire sous la courbe Empty29/9/2012, 10:28


Définition du cas réel à partir de l'aire sous la courbe[modifier]








Si f est une fonction
réelle positive continue prenant ses valeurs dans un segment I = [0,a], alors l'intégrale
de f sur I, notée


Définition du cas réel à partir de l'aire sous la courbe 124457a09302a2008ba26b3cc98e7cdd
est l'aire d'une surface délimitée par la
représentation graphique de f
et par les trois droites d'équation x
= 0, x = a, y = 0, surface notée Sf. (Voir schéma ci-contre.)

Définition du cas réel à partir de l'aire sous la courbe E29cf8bbda8770d49eb74f113b406a87

On donne un signe positif à l'aire des surfaces comme Sf situées au-dessus de l'axe des
abscisses. Pour pouvoir traiter aussi les fonctions négatives, on donne
un signe négatif aux portions situées sous cet axe.

Ainsi, pour définir l'intégrale d'une fonction continue dans le cas
général (positive ou négative), il suffit de définir f + et f comme suit :
Définition du cas réel à partir de l'aire sous la courbe Fd08b3df8794ab8ffcf8ddc7eaeb5592Définition du cas réel à partir de l'aire sous la courbe 3f8d42003a131f8732673a08790f0dbb
puis de définir l'intégrale de f
à partir de f +
et f , fonctions
continues et positives :
Définition du cas réel à partir de l'aire sous la courbe D754e36f534df267df81991f8f769afa
Plus précisément, définir l'aire de cette surface consiste, dans la
définition de la théorie de Riemann, à approcher f par une suite de fonctions gn dont on connait l'intégrale (en
général : des rectangles qu'on définit d'aire ± longueur × largeur) et telle que la différence entre f et gn
tende vers 0 quand n tend vers l'infini.

Il se trouve qu'avec cette méthode, il est possible de définir l'aire
d'une fonction continue présentant avec un ensemble dénombrable de points de discontinuité.

On appelle f un intégrande[2],
et on note ∫ (un s allongé, mis pour somme) l'opérateur mathématique, appelé
intégrateur, qui est associé à l'intégration. Ce symbole est un ancien s long :
en effet, Leibniz s'est servi de
l'initiale du mot latin summa, « somme », lequel était le plus
souvent écrit ſumma. À la différence du s long, ,
en typographie, garde toujours une hampe descendant au-dessous de la
ligne de base, en romaine comme en italique.
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