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 Analyse Fonction entière

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jeun
admin
jeun


Masculin

Analyse Fonction entière Empty
MessageSujet: Analyse Fonction entière   Analyse Fonction entière Empty29/9/2012, 10:24

La fonction associant à chaque nombre réel sa partie entière est
traitée à l'article Partie entière. Voir
aussi la page Entier (homonymie).




En analyse complexe, une fonction entière
est une fonction holomorphe définie sur tout le plan complexe. C'est le
cas notamment de la fonction exponentielle complexe, des fonctions
polynômes et de leurs
combinaisons par composition, somme et produit, telles que sinus, cosinus et les
fonctions hyperboliques.

Le quotient de deux fonctions entières est une fonction méromorphe.

Considérée comme un cas particulier de la théorie des fonctions
analytiques, la théorie élémentaire des fonctions entières ne fait que
tirer les conséquences de la théorie générale. C'est celle que l'on voit
essentiellement dans un premier cours sur la théorie des fonctions
complexes (souvent enrichi du théorème de factorisation de Weierstrass).
Mais l'étude, commencée depuis le milieu du XIXe siècle, par Cauchy, Laguerre, Weierstrass, ... s'est considérablement enrichie sous
l'impulsion de Borel, Hadamard, Montel,
Valiron, Blumenthal, ... (sans oublier Nevanlinna) et constitue maintenant une imposante
théorie.

La théorie des fonctions entières se fixe comme buts de classifier
les fonctions entières selon leurs croissances, de préciser le lien
entre les coefficients de Taylor de la fonction et la croissance, le
lien entre les zéros éventuels et le comportement de la fonction, et les
relations entre la fonction et ses dérivées sur ces questions.

Ces aspects de la théorie des fonctions entières ont été étendus aux
fonctions méromorphes.



  • 1 Les fonctions entières
    dans la théorie des fonctions analytiques
  • 2 Théorie élémentaire

    • 2.1 Les inégalités de
      Cauchy
    • 2.2 Le théorème de
      Liouville
    • 2.3 Propriétés
      algébriques
    • 2.4 Le point à l'infini
    • 2.5 Le principe des
      zéros isolés
    • 2.6 Le théorème de
      l'image ouverte
    • 2.7 Le principe du
      maximum

      • 2.7.1 Les théorèmes de
        Phragmén-Lindelöf


  • 3 La croissance des
    fonctions entières

    • 3.1 Le module maximum
      des fonctions entières
    • 3.2 L'ordre des
      fonctions entières
    • 3.3 Exemples
    • 3.4 Relation entre les
      coefficients et la croissance
    • 3.5 Le lemme de
      Borel-Carathéodory
    • 3.6 L'ordre de la
      dérivée d'une fonction entière
    • 3.7 Ordre inférieur et
      ordre précisé L
    • 3.8 Les fonctions
      entières à croissance régulière

  • 4 Factorisation des
    fonctions entières d'ordre fini

    • 4.1 Le théorème de
      factorisation de Weierstrass
    • 4.2 Estimations sur le
      produit canonique

  • 5 Le terme maximum de la
    série de Taylor
  • 6 La distribution des
    valeurs des fonctions entières

    • 6.1 Les zéros des
      fonctions entières
    • 6.2 La formule de Jensen
      et l'exposant de convergence des zéros
    • 6.3 Le genre
    • 6.4 Un théorème de
      Laguerre
    • 6.5 Le lien entre la
      croissance et la distribution des zéros
    • 6.6 Les fonctions
      entières d'ordre non-entier
    • 6.7 Les fonctions
      entières d'ordre entier
    • 6.8 Les fonctions
      entières et les angles
    • 6.9 Les cercles de
      remplissage
    • 6.10 Les valeurs
      asymptotiques
    • 6.11 La conjecture de
      Denjoy
    • 6.12 La fonction
      indicatrice de Phragmén-Lindelöf
    • 6.13 Le théorème de
      Carlson
    • 6.14 Le théorème de
      Pólya

  • 7 La théorie des
    fonctions entières d'ordre infini de Kraft-Blumenthal
  • 8 La théorie des
    fonctions entières d'ordre 0
  • 9 Applications de la
    théorie des fonctions entières
  • 10 Bibliographie
  • 11 Notes et références


Les
fonctions entières dans la théorie des fonctions analytiques[modifier]



On classe habituellement les fonctions analytiques complexes selon
leur complexité, et cette complexité est celle de leurs singularités.
Hormis les fonctions polynômes, apparaissent ainsi les fonctions
entières qui sont l'objet de cet article, les fonctions méromorphes qui
sont des quotients de fonctions entières et dont les seules singularités
sont polaires, les fonctions présentant des singularités essentielles
ou des points de branchement formant ainsi les fonctions les plus
compliquées parmi les fonctions analytiques d'une seule variable
complexe.

Les fonctions entières apparaissent comme des généralisations des
fonctions polynômes : elles se comportent comme des "polynômes de degré
infini". Ce sont ainsi les fonctions analytiques les plus simples en
dehors des polynômes, n'ayant aucune singularité à distance finie et une
seule singularité à l'infini, comme on le verra. Cependant l'étude de
ces fonctions est difficile et il reste encore de très nombreuses
questions ouvertes bien que cette étude soit commencée depuis près de
deux cents ans.


Théorie élémentaire[modifier]



Soit f une fonction analytique complexe holomorphe en z.
Elle est développable en série entière autour du point z selon
la formule de Taylor-MacLaurin


Analyse Fonction entière 3a9bc41b5cd6038210135477f08f0ae5
La théorie des séries entières montre que la série précédente
converge absolument et uniformément dans le disque ouvert de centre z
et de rayon R donné par le théorème de Cauchy-Hadamard :


Analyse Fonction entière 2e21b2258b922c35e193e48122877a36
Le principal résultat de la théorie des fonctions analytiques
complexes est que le rayon de convergence est déterminé par la distance Analyse Fonction entière E1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6
entre le point Analyse Fonction entière Fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7
et la singularité la plus proche.

On dit d'une fonction analytique complexe qu'elle est entière
lorsqu'elle est holomorphe en tout point du plan complexe. Elle n'a donc
pas de singularité à distance finie.

Rappelons qu'une fonction holomorphe en un point y est indéfiniment
dérivable.

Soit f une fonction entière. Comme toute fonction analytique
holomorphe en un point, elle est développable en série entière
convergente de la forme


Analyse Fonction entière C43c07cefe046822e3c55ec152a8db24
et, comme elle n'a d'autre singularité que le point à l'infini, le
rayon de convergence est infini. Autrement dit, la série converge quelle
que soit la valeur de z.

On a donc


Analyse Fonction entière 83901113e7337b6edff7cb7a0c4ad3f6
Et il en est de même de chacune de ses dérivées qui sont entières
également.

La formule intégrale de Cauchy


Analyse Fonction entière Bcaccb1995666df28e8df09576a520d4
permet, en développant la fraction 1/(s-z) en série
entière, d'identifier les coefficients de Taylor à des intégrales :


Analyse Fonction entière 43b67efb5cbb748ab434f3d159def454
Dans les deux cas Analyse Fonction entière 334de1ea38b615839e4ee6b65ee1b103
est un chemin fermé (un lacet) sans boucle entourant z.


Les inégalités de Cauchy[modifier]




Article
détaillé : inégalité de Cauchy.
Dans la formule intégrale donnant les coefficients, en appelant Analyse Fonction entière 57990ff3de395953c006a591119ca99c
le maximum du module de la fonction sur le
disque de centre z et de rayon R, une majoration simple
donne les inestimables inégalités de Cauchy


Analyse Fonction entière A705cc31dabf822f8e4510e6bece3aac

Le théorème de Liouville[modifier]



Un résultat important sur les fonctions entières est le théorème de Liouville:


Théorème de Liouville — Si une fonction entière est bornée,
alors elle est constante.


Une démonstration possible est l'application des inégalités de Cauchy
en remarquant que Analyse Fonction entière 57990ff3de395953c006a591119ca99c
est alors borné quel que soit Analyse Fonction entière E1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.
Il suffit donc de faire tendre Analyse Fonction entière E1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6
vers l'infini pour avoir le résultat.

Cela peut être utilisé pour fournir une démonstration élégante, par
l'absurde, du théorème de d'Alembert-Gauss :


Théorème de d'Alembert-Gauss — Tout polynôme de degré n admet
exactement n racines complexes comptées avec leur multiplicité.


Le petit théorème de Picard renforce
considérablement le théorème de Liouville


Petit théorème de Picard — Toute fonction entière non constante
prend, sur le plan complexe, toutes les valeurs sauf une au plus.


Dans un certain sens, qui sera précisé plus tard, la théorie des
fonctions entières tourne entièrement autour du petit théorème de
Picard.


Propriétés algébriques[modifier]




  • Une fonction holomorphe définie sur un domaine – c'est-à-dire
    un ouvert connexe – s'étend en une fonction
    entière si et seulement si le rayon de convergence de sa série de Taylor est infini en un point quelconque de son
    domaine.


  • L'ensemble des fonctions entières est stable par composition et forme une sous-algèbre complexe de l'espace des
    fonctions continues du plan complexe dans lui-même.


Le point à l'infini[modifier]



Comme une fonction entière est constante si elle bornée, et qu'elle
ne peut avoir aucun autre point singulier que l'infini, le point à
l'infini est un point singulier pour toute fonction entière non
constante. Il ne peut s'agir que d'un pôle ou d'une singularité
essentielle. Dans le premier cas (le pôle à l'infini), la fonction
entière est un polynôme. Dans le second cas (singularité essentielle en
l'infini), on dit que la fonction est transcendante.


Le principe des zéros
isolés[modifier]



Soit f une fonction analytique dans un domaine U,
s'annulant en a. Alors, ou f est identiquement nulle, ou
il existe un disque D de centre a, pour lequel f(s)
est non nul, quel que soit s dans D autre que a.

Ceci se déduit du principe du prolongement analytique.


Le théorème de l'image ouverte[modifier]



Si f est une fonction analytique non constante sur un ouvert U,
alors f(U) est un ouvert.

On peut le démontrer à partir du principe des zéros isolés.


Le principe du maximum[modifier]



Soit f une fonction analytique non constante sur un domaine D.
Du théorème de l'image ouverte on déduit immédiatement :


  • le module de f ne possède pas de maximum local dans D
    (donc, si D est borné, le maximum de |f| se trouve sur la
    frontière de D) ;
  • si f ne s'annule pas sur D alors |f| ne possède pas
    non plus de minimum local dans D ;
  • la partie réelle de f ne possède dans D
    ni maximum local, ni minimum local.

On en déduit notamment le lemme de Schwarz.

Plus généralement, toute fonction sous-harmonique (comme |f|
et, si f ne s'annule pas, 1/|f|) vérifie le principe du
maximum, donc toute fonction harmonique (comme Re(f)) vérifie le
principe du maximum et du minimum.


Les
théorèmes de Phragmén-Lindelöf[modifier]



Le principe
de Phragmén-Lindelöf (en) est une
généralisation du principe du module maximum à des domaines non bornés.


La croissance des
fonctions entières[modifier]




Le module maximum des
fonctions entières[modifier]



On dit d'une fonction analytique complexe qu'elle est entière
lorsqu'elle est définie sur le plan complexe tout entier et holomorphe
en chaque point. Elle ne présente donc que le point à l'infini pour
seule singularité.

On pose


Analyse Fonction entière Ef3511d2b96281b68b944f6479027311
Cette fonction croît monotonement, par suite du principe du maximum.
Et, en corollaire du théorème de Liouville, elle n'est pas bornée pour
les fonctions entières non constantes.

Elle est appelée module maximum de la fonction Analyse Fonction entière 8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.



« La fonction ln Analyse Fonction entière 4ba8770082dc4e0bcf2d0d9bda1f76f3
est une fonction convexe de ln r. (Hadamard)[1]
»




« La fonction ln Analyse Fonction entière 4ba8770082dc4e0bcf2d0d9bda1f76f3
est continue et analytique par intervalles. (Blumenthal) »


En conséquence de la convexité, ln Analyse Fonction entière 4ba8770082dc4e0bcf2d0d9bda1f76f3
admet une dérivée à droite et à gauche, et ces dérivées sont
croissantes. Il existe une fonction Analyse Fonction entière 273a383345e167ee1791232c40eaf917
croissante (mais pas nécessairement continue) telle que


Analyse Fonction entière 07a3d79a8b2762f49019f2cba9addd84

L'ordre des fonctions
entières[modifier]



Si pour une valeur quelconque Analyse Fonction entière E05a30d96800384dd38b22851322a6b5,
on a


Analyse Fonction entière C08c997d43de0794ea9532cbffae0e24
la fonction f est un polynôme de degré au plus égal à Analyse Fonction entière E05a30d96800384dd38b22851322a6b5.

Lorsque l'égalité précédente n'a lieu pour aucune valeur de Analyse Fonction entière E05a30d96800384dd38b22851322a6b5,
on compare la croissance de Analyse Fonction entière 4ba8770082dc4e0bcf2d0d9bda1f76f3
à Analyse Fonction entière 6b44bb62fbe48aece1cd43590971f62f.
Si l'on a, à partir d'une valeur Analyse Fonction entière Ead4ced109234b2f906f72270171d0ab
de Analyse Fonction entière 4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231,
l'inégalité


Analyse Fonction entière F79c9adbf9e22b909b7c47e53a12ce68
on dit que la fonction est d'ordre fini. L'ordre (supérieur) de
croissance de Analyse Fonction entière 8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7
est donné par la formule


Analyse Fonction entière 03cac6d8ad592a59daffd81073709ccc
On distingue, parmi les fonctions entières de même ordre Analyse Fonction entière F7f177957cf064a93e9811df8fe65ed1,
les fonctions de type Analyse Fonction entière D179e11d8a700231539a0c6831f0e6c7
défini par la formule


Analyse Fonction entière 36dbaf103a158fe6419f95ec1ed23b0f
Selon la valeur de Analyse Fonction entière D179e11d8a700231539a0c6831f0e6c7,
on distingue le type minimal (Analyse Fonction entière 51c3c076691b4ee764c5f2d10c7c9f39),
normal (Analyse Fonction entière 01e5607b8a012ed1e71d54753bb2fe7a)
ou maximal (Analyse Fonction entière 6fd590ef9b0f4a38dcf94e161dab6d97).

On montre les résultats suivants :


  • Analyse Fonction entière 99aadca989c2f8f800b1fbc75c259a1e
  • Analyse Fonction entière 2cb72d8fada005b949f84307b6e4491a
  • Analyse Fonction entière 74885cf53e442191468a1ba2079e6bf6
  • Analyse Fonction entière C880e021f14a0790cbf0e21d22b315f4


Exemples[modifier]



La fonction Analyse Fonction entière 129bc753f57cd83e62b01c65567d3da9
est d'ordre 1 ainsi que les fonctions Analyse Fonction entière F09d058e63d3067ef83157604fdbdfe1
et Analyse Fonction entière 484efe471ee4d0bd336727971fdb1221.

La fonction de Mittag-Leffler


Analyse Fonction entière 3706c66efe9190ef3111aee3b6ef81d6
est d'ordre Analyse Fonction entière F7f177957cf064a93e9811df8fe65ed1.
Il en est de même de la fonction de Lindelöf définie par


Analyse Fonction entière 5a02610d6f00ae52004543a3f86cafe4

Relation entre les
coefficients et la croissance[modifier]




  • Si la fonction entière est telle que


Analyse Fonction entière C43c07cefe046822e3c55ec152a8db24
et que


Analyse Fonction entière C620c398356dc428f7cbb200859fdecf
pour Analyse Fonction entière 4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231
suffisamment grand,

alors on a


Analyse Fonction entière 6f5bcd28d7d51ccaeabd5e3ef058b6af
pour Analyse Fonction entière 7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1
suffisamment grand.


  • Réciproquement, si l'on a


Analyse Fonction entière 6f5bcd28d7d51ccaeabd5e3ef058b6af
pour Analyse Fonction entière 7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1
suffisamment grand, alors, pour tout Analyse Fonction entière E778429d8769714354b1994984a23fe5,


Analyse Fonction entière 576421f26af41462ae89a2408d2345ff
pour Analyse Fonction entière 4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231
suffisamment grand.

De ce résultat on déduit



« L'ordre de la fonction entière est déterminé par la formule


Analyse Fonction entière 21dbb7ed2573815dc94e4cb4be61ed86
Le type de la fonction entière est déterminé par la formule


Analyse Fonction entière Ef2fe10f72f2ae21283cf3f37b3fe89e »


Le lemme de Borel-Carathéodory[modifier]



On a vu que le maximum sur un cercle est en rapport avec les
coefficients de la fonction développée en série entière. On peut se
demander s'il en est de même, par exemple, avec seulement la partie
réelle de la fonction. Ce lien est fourni de manière générale par le lemme de Borel-Carathéodory, qui
donne de plus une estimation concernant les dérivées :



« Soit f(z) une fonction analytique dans la boule fermée B(0,R) de
centre 0 et de rayon R, et A(r) le maximum de sa partie réelle prise sur
le cercle de rayon r.

Alors on a l'inégalité suivante, pour tout r compris dans ]0,R[:


Analyse Fonction entière 02ea05b3a727f9088278457c869144bc
et, si Analyse Fonction entière 2bdabfad28f98978cefc19d8a3ad63b7


Analyse Fonction entière 1f595466e000ca27dfbdd60a4fef3ad8 »


L'ordre
de la dérivée d'une fonction entière[modifier]



La dérivée d'une fonction entière est obtenue par dérivation formelle
de sa série entière. En appliquant la formule de Cauchy-Hadamard, on
voit que la dérivée d'une fonction entière est elle-même entière. La
question de l'ordre de la dérivée se pose donc naturellement. Le calcul
de l'ordre par la formule précédemment donnée montre que



« L'ordre de la dérivée d'une fonction entière est égal à l'ordre
de cette fonction.
»


Et, comme une fonction entière est indéfiniment dérivable, il en est
de même de toutes ses dérivées.


Ordre inférieur
et ordre précisé L[modifier]



Pour comparer plus finement la croissance des fonctions entières, on
est amené à regarder l'ordre inférieur de croissance, défini par la
quantité


Analyse Fonction entière E08beea392dfa3d6ecbd8bfcb7b069e9
On montre que



« L'ordre inférieur de la dérivée d'une fonction entière est égal
à l'ordre inférieur de cette fonction.
»


Mais cela ne suffit pas. On montre l'existence, pour une fonction
entière Analyse Fonction entière 8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7
d'ordre fini Analyse Fonction entière F7f177957cf064a93e9811df8fe65ed1,
d'une fonction Analyse Fonction entière E907c4eeba8d7cb0a1f0607079158fa0
ayant les propriétés suivantes :


  • Analyse Fonction entière E907c4eeba8d7cb0a1f0607079158fa0
    est définie et continue, dérivable à droite et à gauche en chaque
    point.
  • Analyse Fonction entière 985615eaafc4cd13d8359c003ca22c39
  • Analyse Fonction entière Bb1ecddb166fc03fb92fff539040655e
  • Analyse Fonction entière 25afc75b1c76d169f352bbe87a12e8a5

On a ainsi défini un ordre précisé L de Analyse Fonction entière 8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.


Les
fonctions entières à croissance régulière[modifier]



Dans ses études sur les fonctions entières, Émile Borel a défini les fonctions
entières à croissance régulière
en supposant que l'ordre de la
fonction entière est


Analyse Fonction entière 243e757d0694e3d9852aef93ecfb4d0d
Il résulte de la définition que les ordres supérieur et inférieur
sont égaux. C'est en ce sens que la fonction est à croissance régulière.



« Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction
entière d'ordre Analyse Fonction entière F7f177957cf064a93e9811df8fe65ed1
soit une fonction à croissance régulière est



Analyse Fonction entière 7b1c65b3fd7604323e0c5ca4d136b71b
pour tout entier Analyse Fonction entière 7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1
assez grand et tout Analyse Fonction entière E778429d8769714354b1994984a23fe5
et qu'il existe une suite d'entiers Analyse Fonction entière D241fb30a61c3708d7909db5442d08ed
telle que


Analyse Fonction entière 8f3bab1719c458528ddeac6b84f701ad
et pour laquelle on a

Analyse Fonction entière Ed4701f5fe41aa77e2af67e0d090ee75
avec

Analyse Fonction entière 7ef5a53d1b7aab79838eaecf8a40b1b6 »


Factorisation
des fonctions entières d'ordre fini[modifier]




Le théorème
de factorisation de Weierstrass[modifier]




Article
détaillé : théorème de
factorisation de Weierstrass.
Cette importante propriété de factorisation (et sa généralisation par
Hadamard) : fait l'objet d'un article à part entière : théorème de
factorisation de Weierstrass.


Estimations sur le produit
canonique[modifier]



Le théorème de Boutroux-Cartan énonce un résultat fréquemment utilisé
dans les recherches sur les fonctions entières. Le problème est
d'estimer le produit Analyse Fonction entière 8b37975d5046e60daa577a5565cff74f
en dehors du voisinage des zéros. On suppose que l'on connaît Analyse Fonction entière 7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.
Le théorème s'énonce ainsi



« Pour tout nombre Analyse Fonction entière Df770c7e9723b5de95b3d9a4d8df51ce,
on a

Analyse Fonction entière A382cc451d02f6d8e18441f62beff213
en dehors d'au plus Analyse Fonction entière 7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1
cercles dont la somme des rayons est au plus Analyse Fonction entière 66af1fc97570a318833f295a60193216. »

Le terme maximum de la
série de Taylor[modifier]



Soit Analyse Fonction entière Befc399ca4fd02995d6b248883b803f9
une fonction entière. La série Analyse Fonction entière Eb1cb665f463a337ac6f552ca9ddba6a
est une série décroissante à partir d'un certain rang et tendant vers
0, quel que soit Analyse Fonction entière 4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.
Il y a donc, pour chaque Analyse Fonction entière 4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231
un terme supérieur ou égal à tous les autres. Soit Analyse Fonction entière 91be866487953bdafbe4046eef386d82
la valeur de ce terme et soit Analyse Fonction entière Ccd68dca243bdafa92da5d6ea55af7dd
le rang (le plus grand, s'ils sont plusieurs) de ce terme. Analyse Fonction entière 91be866487953bdafbe4046eef386d82
est une fonction croissante de Analyse Fonction entière 4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231
qui tend vers l'infini. D'après l'inégalité de Cauchy, on a Analyse Fonction entière Dcbe3515705bc1068cfd2f53578dea04.



« Le rang Analyse Fonction entière Ccd68dca243bdafa92da5d6ea55af7dd
est une fonction non-décroissante de Analyse Fonction entière 4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231
qui tend vers l'infini avec Analyse Fonction entière 4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.

»


Entre les fonctions Analyse Fonction entière 91be866487953bdafbe4046eef386d82,
Analyse Fonction entière E8736f17bf6b5a38cbfe658e2a985193
et Analyse Fonction entière Ccd68dca243bdafa92da5d6ea55af7dd
existe une double inégalité:


Analyse Fonction entière 89185f631920e6c755979c7322c43f94
et de cette double inégalité on déduit



« Pour une fonction d'ordre fini, les fonctions Analyse Fonction entière A932b86b8a32d0074af279dd6ed2fc0e
et Analyse Fonction entière 8110fa5db653ac9913fd480256060a49
sont asymptotiquement égales.
»


On en déduit ensuite une relation sur Analyse Fonction entière Ccd68dca243bdafa92da5d6ea55af7dd :



« Pour une fonction entière parfaitement régulière d'ordre fini Analyse Fonction entière F7f177957cf064a93e9811df8fe65ed1
et d'ordre précisé Analyse Fonction entière E907c4eeba8d7cb0a1f0607079158fa0,
on a Analyse Fonction entière B60547ea23a69cb4fe87d359fc7a49cb
»


De manière générale, on a la formule


Analyse Fonction entière D934e3c0ebf540c5a4406cff1aa9917c

La
distribution des valeurs des fonctions entières[modifier]





« Soit une fonction Analyse Fonction entière 8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7
de la variable complexe définie par la série



Analyse Fonction entière 9e9931203310b5efc6d236055a39fe2f
la série des modules étant convergente. Si R est une région du plan
complexe où la variation de l'argument de Analyse Fonction entière 2644b6f21dc5bd9ac90be17ceb4f5fb0
est inférieure à Analyse Fonction entière 522359592d78569a9eac16498aa7a087
lorsque Analyse Fonction entière 7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1
varie, la fonction Analyse Fonction entière 8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7
ne peut s'annuler qu'en dehors de cette région. »



Les zéros des fonctions
entières[modifier]



Par suite du théorème fondamental de l'algèbre, un polynôme de degré n
admet n racines dans Analyse Fonction entière 84feda6433ec704f8ff2098173f9413f.
Donc, plus un polynôme admet de zéros, plus il croît rapidement.

Ceci est aussi le cas des fonctions entières mais d'une manière plus
complexe. La relation entre la croissance des fonctions entières et la
répartition de ses zéros constitue l'un des thèmes principaux de la
théorie de ces fonctions.


La
formule de Jensen et l'exposant de convergence des zéros[modifier]



Cette formule est fondamentale dans la suite de la théorie, même si
elle n'intervient pas explicitement. On la démontre par exemple par
l'emploi de la formule de Green.

On a, pour une fonction ayant des zéros aux points Analyse Fonction entière 335c2b8edc9f3f1368c622252d97eb2c,
ne présentant aucun pôle dans le disque Analyse Fonction entière 1ae9b0351331f2019b83766ac54f2f17
et en posant Analyse Fonction entière C96987a6b5db4108ec2950c4308c21c7


Analyse Fonction entière 08b57f3db649bec03ce71c1a44f57c0b
Cette formule est la formule de Poisson-Jensen.

On en déduit la formule de Jensen:



« Soit f une fonction analytique dans le disque Analyse Fonction entière E83268d19ec5c1f67b5d82760d55e66e
contenant les zéros Analyse Fonction entière C94ba91451b1c20bd0193daf0306e93d.
Alors



Analyse Fonction entière B637752d5909f632a84321bef4eb9bc5 »

Cette formule permet de lier le nombre des zéros à la croissance de
la fonction. Soit Analyse Fonction entière 517921f924a219ec0ec90920a4a9b906
une fonction entière ayant tous ses zéros Analyse Fonction entière 335c2b8edc9f3f1368c622252d97eb2c
dans le disque de rayon Analyse Fonction entière 4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.
On appelle Analyse Fonction entière A04b553e10c56083cfaa0c6da420a1f6
le nombre de zéros de modules inférieurs ou égaux à Analyse Fonction entière 9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.

On a alors


Analyse Fonction entière 0871b2710450eaef258bafea628db8a6
et ainsi, pour une fonction non nulle en 0, on trouve la forme
suivante de la formule de Jensen:


Analyse Fonction entière 490798cd530df3277ab8b051c54562d1
Pour une fonction entière d'ordre Analyse Fonction entière F7f177957cf064a93e9811df8fe65ed1
fini, on voit que Analyse Fonction entière 69e140393004d86d57f49c004c4a8056.

On en déduit que la série


Analyse Fonction entière 152ae003f6cfdedc2b91d248baaa5ae3
est convergente pour Analyse Fonction entière 1d675c519401e5d37b41cd2a31779c56

On appelle ainsi ordre réel (Borel) ou exposant de
convergence de la suite des zéros
la valeur de Analyse Fonction entière 81a69207104f00baaabd6f84cafd15a0
la plus petite pour laquelle la série converge. On en déduit donc ce
théorème de Borel:



« L'exposant de convergence de la suite des zéros est au plus
égal à l'ordre.
»



Le genre[modifier]



On dit que la fonction entière f est de genre p,
d'après Laguerre, lorsque l'on peut la mettre sous la forme Analyse Fonction entière 2a5c0ef62880355c6d4fc3af1fc628eb
ou Analyse Fonction entière 00956066a50cecb08c893e54884c5db4
sans que cette décomposition puisse se faire pour p-1, où Q
est un polynôme de degré p au plus, P, un polynôme
quelconque et le produit infini le produit de Weierstrass.

Le plus petit entier qui majore l'exposant de convergence est aussi
le genre de la fonction.

Le genre se détermine par la formule de Laguerre :



« Une fonction entière Analyse Fonction entière 8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7
est de genre Analyse Fonction entière 7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1
si et seulement si Analyse Fonction entière 8ff79ffe71545b842dd714b9218289d2
tend vers 0 uniformément quand Analyse Fonction entière E21492fba2a25a74584cf3ba158efec3
tend vers l'infini.
»


On ne saurait être trop prudent avec la notion de genre. Lindelöf a
montré que la fonction


Analyse Fonction entière 315f82933c019fb213902d2343f08aa3
Analyse Fonction entière Bcd54cdc55b208cb7abe3cae797b32ef
est d'ordre 1, et de genre 0 mais Analyse Fonction entière 4746be998f406de2547d9746f1bf01c1
est de genre 1. De même Analyse Fonction entière 16513c5678ee6ddeb5a8df2c2c84442c
est de genre 1 mais Analyse Fonction entière 2d8edb1d695ec402d28df25b92978e47
est de genre 0.

Valiron a montré cependant le théorème suivant :



« Si f est une fonction de genre n, les fonctions f-a
sont de genre n également sauf pour une valeur de a au
plus. »



Un théorème de Laguerre[modifier]



Dans ses investigations sur les fonctions entières à la suite du
mémoire fondateur de Weierstrass, Laguerre démontra que



« Si une fonction entière f admet des zéros tous réels, il en
est de même de sa dérivée pourvu que le genre de f soit égal à 0
ou à 1. »



Le
lien entre la croissance et la distribution des zéros[modifier]



Le résultat le plus profond est le petit théorème de Picard qu'on
énonce ainsi



« Toute fonction entière prend toutes les valeurs complexes sauf
une au plus.
»


La valeur non prise éventuelle est appelée valeur exceptionnelle
de Picard
.



« Soit une fonction d'ordre fini Analyse Fonction entière F7f177957cf064a93e9811df8fe65ed1,
d'ordre précisé LAnalyse Fonction entière E907c4eeba8d7cb0a1f0607079158fa0
et Analyse Fonction entière 8f2113aaddfc24a75bf69c3da83be27a
le nombre des zéros de module inférieur ou égal à Analyse Fonction entière 4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.
On a l'inégalité



Analyse Fonction entière B9553e4e1ff7ace655b8866e7bdfeb3b »


Les fonctions
entières d'ordre non-entier[modifier]



Dans le cas des fonctions entières d'ordre non entier, celles-ci
n'admettent aucune valeur exceptionnelle au sens du théorème de Picard.
Ces fonctions ont donc une infinité de solutions à l'équation Analyse Fonction entière 16e157ee063fe28b2ced54dc93fef14e,
quelle que soit la valeur de Analyse Fonction entière 9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6
et en particulier



« Toute fonction entière d'ordre non entier admet une infinité de
zéros.
»



Les fonctions entières
d'ordre entier[modifier]



Si l'ordre est entier, le cas d'exception du théorème de Picard est
possible. Dans ce cas, on a la précision suivante apportée par Émile
Borel:



« Le nombre Analyse Fonction entière 40dc057d89b45f925c913f935e6a7ea8
des racines de l'équation Analyse Fonction entière 16e157ee063fe28b2ced54dc93fef14e
de module inférieur à Analyse Fonction entière 4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231
ne peut être d'un ordre de grandeur inférieur à Analyse Fonction entière 8110fa5db653ac9913fd480256060a49
que pour une seule valeur de Analyse Fonction entière 9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6
au plus.
»


On montre qu'il existe des fonctions entières d'ordre entier n'ayant
qu'un nombre fini de zéros et qui ne se réduisent pas à un polynôme.
Mais cela ne peut être le cas des fonctions entières paires dont l'ordre
est un entier impair.


Les fonctions entières et
les angles[modifier]





« Une fonction entière d'ordre Analyse Fonction entière 7cb29fb72546dd0187c03a7d951f6cb4
est d'ordre Analyse Fonction entière F7f177957cf064a93e9811df8fe65ed1
dans tout angle de mesure supérieure à Analyse Fonction entière 374110a082fad155ad3afc181a1a559f.
»



Les cercles de remplissage[modifier]



Le mathématicien français Milloux, dans sa thèse soutenue en 1924, a
défini des cercles particuliers, appelés par lui cercles de
remplissages
et dont le rayon augmente indéfiniment, dans lesquels
la fonction entière prend toutes les valeurs en dessous d'un nombre A(r)
tendant vers l'infini avec r sauf peut-être dans un cercle dont le
rayon tend vers 0 avec 1/r. Il a démontré le résultat suivant :



« Soit f(z) une fonction entière et Analyse Fonction entière E778429d8769714354b1994984a23fe5
une quantité aussi petite qu'on veut et inférieure à 1. On pose Analyse Fonction entière 69a02ef781424de309331aeaa8851427
et Analyse Fonction entière 09ffd82fe77c9ac2406be56da54a5f7c.
On suppose que r est suffisamment grand pour que Analyse Fonction entière 8996c4c520c6c2bf8920c5ef6cf5c999
dépasse Analyse Fonction entière Bc5841b6a67b2c8479c12a738059bf95.
Alors f(z) vérifie l'une des deux propriétés suivantes :

1/ Dans la couronne circulaire d'épaisseur Analyse Fonction entière 169271e9bd5723386b15b701d9edb567,
dont la circonférence médiane est la circonférence |z|=r, on a
l'inégalité


Analyse Fonction entière 226c4f53a1c6a9a9d953b15c0703718b ;
2/ Il existe au moins un cercle C(r), appelé cercle de remplissage,
dont le centre est sur le circonférence |z|=r et de rayon Analyse Fonction entière A3b8d3fb53c88a4dc36868975b43c9f3
dans lequel la fonction f(z) prend toutes les valeurs inférieures en
module à A(r), sauf peut-être dans un voisinage d'une valeur a(r), ce
voisinage étant inclus dans le cercle de centre a(r) et de rayon
2/A(r). »


Les cercles de remplissage sont utiles pour préciser les solutions de
l'équation f(z)=a.


Les valeurs asymptotiques[modifier]



On peut se demander si une fonction entière non constante peut, dans
certaines régions, avoir une valeur asymptotique finie ou si elles ont
toujours une limite finie. On sait qu'elles ne peuvent pas avoir de
valeurs asymptotiques finies dans toutes les directions par suite du
théorème de Liouville. On dit que f admet la valeur asymptotique a s'il
existe un chemin, appelé chemin de détermination a pour lequel
f(s) tend vers a quand s tend vers l'infini en restant sur le chemin.

Donc



« Pour toute fonction entière non constante, il existe au moins
un chemin de détermination Analyse Fonction entière D245777abca64ece2d5d7ca0d19fddb6.
»




« Pour une fonction d'ordre inférieur à 1/2, il existe une
infinité de cercles de centre l'origine et de rayon indéfiniment
croissant sur lesquels le module minimum tend vers l'infini. Il n'existe
donc pas de valeur asymptotique finie pour les fonctions entières
d'ordre inférieur à 1/2.
»


En fait, Wiman a montré le théorème suivant :



« Pour une fonction Analyse Fonction entière 8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7
d'ordre Analyse Fonction entière D065b921148a6ddfbf8d8c2f5a93ae2c
et d'ordre précisé L Analyse Fonction entière E907c4eeba8d7cb0a1f0607079158fa0,
on a, pour tout Analyse Fonction entière E778429d8769714354b1994984a23fe5,
l'inégalité



Analyse Fonction entière 8be5b02baf8bec77293b87351ccf5e82
sur une infinité de cercles de rayons tendant vers l'infini.
On a donc sur ces cercles


Analyse Fonction entière Fbc10532e5db0037d1eddae526ac0690 »

Supposons maintenant qu'une fonction entière possède deux chemins de
déterminations a et b. Alors, dans le domaine défini entre les deux
chemins de détermination soit il existe un chemin de détermination Analyse Fonction entière D245777abca64ece2d5d7ca0d19fddb6,
soit les valeurs a et b sont égales et tout chemin vers l'infini inclus
entre les deux chemins de détermination est un chemin de détermination a
(=b).


La conjecture de Denjoy[modifier]



Il a été conjecturé par Denjoy qu'une fonction entière d'ordre fini Analyse Fonction entière F7f177957cf064a93e9811df8fe65ed1
a au plus Analyse Fonction entière 409559a0a8c66226db43b7276a5277e1
valeurs asymptotiques. Cette conjecture est devenue le théorème de
Ahlfors.

Il ne peut ainsi y avoir qu'au plus Analyse Fonction entière F7f177957cf064a93e9811df8fe65ed1
lignes droites allant de 0 à l'infini et menant à des valeurs
asymptotiques différentes. De ce fait, l'angle entre deux telles lignes
est au moins Analyse Fonction entière 2e48023728ed62c4d623aca9090bfb1d.


La fonction
indicatrice de Phragmén-Lindelöf[modifier]



La définition de l'ordre Analyse Fonction entière F7f177957cf064a93e9811df8fe65ed1
d'une fonction entière d'ordre fini et les théorèmes de
Phragmén-Lindelöf suggèrent l'intérêt qu'il y aurait à étudier la
fonction


Analyse Fonction entière 7c73b4e569e97672e70473d929c32f7b
en fonction de Analyse Fonction entière 87349317c914d3839f7ad62d8091edab
puisque la croissance sur une demi-ligne se répercute sur les lignes
voisines.

Par définition, Analyse Fonction entière 52566e6dcb6a2c9ff73ebbc698b336a8
est l'indicatrice de de Phragmén-Lindelöf. C'est une fonction
périodique de période Analyse Fonction entière 46a6c4d715584adb3e6681ee351d1df6
qui peut prendre des valeurs réelles, mais peut être Analyse Fonction entière Beab416080922c84a90ba092f7734fe5
ou Analyse Fonction entière 28cfe0a2608499ff5984a938e0d16d64.

On a alors :



« Soit f une fonction entière d'ordre Analyse Fonction entière F7f177957cf064a93e9811df8fe65ed1
et d'indicatrice Analyse Fonction entière 52566e6dcb6a2c9ff73ebbc698b336a8.
Si h est finie dans l'intervalle [a,b] alors, quel que soit Analyse Fonction entière E778429d8769714354b1994984a23fe5,
il existe Analyse Fonction entière 635e98603111634907c6ce1937eeb0a7
tel que pour tout Analyse Fonction entière D8976ca29be4d57fc4ee5ecb644aa042,
on ait


Analyse Fonction entière 5fa21d92e148c3965e7fe1acf4197c79
uniformément dans tout sous-intervalle de ]a,b[. »
dont on déduit :



« Sous les conditions du théorème précédent, tout sous-intervalle
dans lequel Analyse Fonction entière D2ac5820d66af602d43f4bfe0e895cc8
est de longueur supérieure à Analyse Fonction entière 2e48023728ed62c4d623aca9090bfb1d.
Tout sous-intervalle dans lequel Analyse Fonction entière B28a0f04dfa1dd0eacda89b24f0fc5ec
est de longueur inférieure ou égale à Analyse Fonction entière 2e48023728ed62c4d623aca9090bfb1d.
De plus tout sous-intervalle où Analyse Fonction entière B28a0f04dfa1dd0eacda89b24f0fc5ec
est suivi d'un point où Analyse Fonction entière F15b1024c4e013a876d7130bf8a44bd5
et d'un intervalle où Analyse Fonction entière D2ac5820d66af602d43f4bfe0e895cc8. »



Le théorème de Carlson[modifier]



On peut se demander s'il existe des conditions assurant qu'une
fonction entière soit définie de manière unique par les valeurs qu'elle
prend sur un ensemble dénombrable. Posé de cette manière, sans
restriction sur l'ensemble, il semble que la réponse soit négative a
priori. En fait, il n'en est rien et dans ce genre de question, le
résultat de Carlson est à l'origine de toute un pan de recherche. On
peut l'exprimer de la manière suivante :



« Soit f une fonction entière d'ordre 1 et de type Analyse Fonction entière 476eb95b33c8d13dd6db4e1e9d60b636.
La fonction f est entièrement déterminée par les valeurs f(n), pour
n=1, 2, … De plus, si le type est strictement inférieur à ln 2, alors



Analyse Fonction entière D89122eadda33c443ba48cc95ff1c0e8 »

Sa démonstration utilise l'indicatrice de Phragmén-Lindelöf.


Le théorème de Pólya[modifier]



Les valeurs entières prises sur un ensemble par une fonction entière
imposent des restrictions sur sa croissance. Pólya, en 1915[2],
a par exemple démontré le théorème suivant



« Soit Analyse Fonction entière 8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7
une fonction entière prenant des valeurs entières sur l'ensemble des
entiers non négatifs.
Si


Analyse Fonction entière B101ec41eed9e062e1ff7a2c16055e5c
alors Analyse Fonction entière 8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7
est un polynôme.
»


Autrement dit, la plus petite (au sens de la croissance) fonction
entière non polynomiale qui prend des valeurs entières sur les entiers
naturels est la fonction Analyse Fonction entière A7de56aba22e5be5a5ab364b1288617d

Ces résultats ont été généralisés aux fonctions entières prenant des
valeurs entières sur une suite géométrique, ...


La
théorie des fonctions entières d'ordre infini de Kraft-Blumenthal[modifier]



en travaux...

Une fonction entière est d'ordre infini lorsqu'elle n'est pas d'ordre
fini. Il avait été remarqué très tôt par Emile Borel que, dans le cas
des fonctions entières d'ordre fini Analyse Fonction entière F7f177957cf064a93e9811df8fe65ed1,
s'il existait une infinité de cercles de rayon r sur lesquels la
croissance était de l'ordre de Analyse Fonction entière 8f8a581c3cf0a6a951492544c3184999,
il était possible que la croissance soit d'un ordre sensiblement
inférieur sur une infinité d'autres cercles. Ces fonctions sont dites à
croissance irrégulière. Le même phénomène existe pour les fonctions
d'ordre infini.

La théorie repose sur l'existence de fonctions types et sur la
définition de l'ordre Analyse Fonction entière 0c5779777770f9129db65407ad950528
selon la formule


Analyse Fonction entière Ae0d916db9d9b69c02ef3fd6cbdf1fce

La théorie
des fonctions entières d'ordre 0[modifier]




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section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre
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Applications
de la théorie des fonctions entières[modifier]



La théorie des fonctions entière permet, par le théorème de
Liouville, de démontrer de manière simple et élégante le théorème fondamental de l'algèbre.

Cette théorie apparaît aussi dans la démonstration de l'existence
d'une infinité de zéros de la fonction zêta de Riemann dans la
bande Analyse Fonction entière 2c37b06c932c517d5c2ef46e9a3ea2f6
par la propriété que les fonctions entières d'ordre non entier ont une
infinité de zéros.

La théorie permet aussi l'étude des fonctions méromorphes comme
quotients de deux fonctions entières. Les fonctions méromorphes
apparaissant naturellement dans nombre de problèmes d'équations
différentielles.

Ces méthodes restent aussi une source d'inspiration importante pour
l'étude des fonctions analytiques plus compliquées, avec plusieurs
variables, ...


Bibliographie[modifier]




  • Barnes, A memoir on integral functions, philosophical transactions
    of the royal society of London, série A, Volume 199, 1902, p. 411-500
  • Boas, entire functions, Dover, 1954,
  • Borel, les fonctions entières, Gauthier-Villars, 1928 (deuxième
    édition)
  • Blumenthal, Les fonctions entières d'ordre infini, Cahiers
    scientifiques, 1914
  • Levine, entire functions, AMS,
  • Nevanlinna, Le théorème de Picard-Borel et la théorie des fonctions
    méromorphes, Monographies sur la théorie des fonctions,
    Gauthier-Villars, 1929
  • Valiron, Fonctions convexes et fonctions entières, Bulletin de la
    SMF, T60, 1932
  • Valiron, Les fonctions entières d'ordre nul et d'ordre fini, thèse,
    1914
  • Valiron, Fonctions entières d'ordre fini et fonctions méromorphes,
  • Valiron, Lectures on the general theory of integral functions,
    Chelsea Publishing, 1949
  • Valiron, Fonctions entières et fonctions méromorphes d'une variable,
    mémorial des sciences mathématiques, Gauthier-Villars, 1925.
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