Bibliothèques


 
AccueilAccueil  S'enregistrerS'enregistrer  Connexion  

Partagez | 
 

 Intégrale de Kurzweil-Henstock

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas 
AuteurMessage
jeun
admin


Masculin

MessageSujet: Intégrale de Kurzweil-Henstock    29/9/2012, 10:25


Intégrale de Kurzweil-Henstock








En mathématiques, et plus précisément en analyse, l'intégrale de
Kurzweil-Henstock
(ou KH-intégrale, ou intégrale de jauge)
a été mise au point dans les années 1950 dans le but de présenter une
théorie de l'intégration à
peine plus compliquée à exposer que l'intégrale de Riemann, mais aussi
puissante que l'intégrale de Lebesgue. Elle est
équivalente aux intégrales de Denjoy
ou de Perron datant des années 1910, mais dont la présentation
était assez lourde et qui étaient tombées en désuétude dans les années
1940.

Par rapport à l'intégrale de Lebesgue, la KH-intégrale présente
l'avantage que toute fonction dérivée
est intégrable, et qu'il n'est pas nécessaire d'introduire la notion d'intégrale impropre. Elle permet
d'introduire dès les premières années de l'enseignement supérieur[1]
une intégrale dotée de théorèmes puissants et fort proche de
l'intégrale de Lebesgue (qu'il est facile d'introduire ensuite comme un
cas particulier).





Sommaire



[masquer]

  • 1 Définitions
  • 2 Propriétés
  • 3 Note et références

    • 3.1 Note
    • 3.2 Références

  • 4 Articles connexes


Définitions [modifier]




  • Soit [a, b] un segment de .
    On appelle subdivision marquée de [a, b] tout
    couple de familles finies de points
    et
    telles que

    On
    dit que
    marque le segment .


  • Si
    est une fonction définie sur [a, b] à valeurs strictement
    positives, on dit que
    est une jauge (sur [a, b]), et la subdivision est
    dite plus fine que
    si



Un théorème important, le lemme de Cousin, est fréquemment utilisé dans la théorie de
la KH-intégration ; il affirme que, quelle que soit la jauge choisie, il
existe des subdivisions marquées plus fine que cette jauge.



  • Une fonction f bornée ou non sur un segment [a, b],
    à valeurs réelles ou complexes, est intégrable au sens de
    Kurzweil-Henstock (ou KH-intégrable)
    , d'intégrale A, si

    il existe une jauge
    telle que, pour toute subdivision
    marquée par
    plus fine que ,
    on a :

    A
    est alors unique et s'appelle l'intégrale de f sur [a, b].
    On la note alors


  • La quantité
    s'appelle somme de Riemann de f relativement à la
    subdivision marquée choisie.

On remarque que, si on prend des jauges
constantes, on retrouve la définition de l'intégrale de Riemann. La KH-intégrale
consiste à remplacer ces jauges constantes par des jauges variables.



  • Dans le cas où f est définie sur un intervalle I
    qui n'est pas un segment, on dit que f est KH-intégrable
    d'intégrale A, si
    ,
    il existe une jauge
    et un nombre ,
    tels que, pour toute subdivision
    marquée par ,
    plus fine que
    sur tout segment contenant
    on a :



Propriétés [modifier]




  • L'ensemble des fonctions KH-intégrables forme un espace
    vectoriel et l'intégrale est une forme linéaire positive sur cet espace.
  • Toute fonction Riemann-intégrable ou Lebesgue-intégrable est KH-intégrable
    avec la même intégrale ; en particulier, la fonction de Dirichlet valant 1 sur les
    rationnels et 0 sur les irrationnels, n'est pas Riemann-intégrable,
    mais est KH-intégrable d'intégrale nulle.
  • De même, la fonction
    sur
    n'est pas Lebesgue-intégrable, mais c'est une intégrale (au sens de
    Riemann) impropre convergente, et elle est donc KH-intégrable
    (d'intégrale ;
    il s'agit de l'intégrale de Dirichlet).
    Contrairement aux fonctions Lebesgue-intégrables, une fonction peut être
    KH-intégrable sans que sa valeur absolue le soit.
  • Une fonction
    est Lebesgue-intégrable si et seulement si
    et
    sont KH-intégrables (ce qui permet de définir la notion d'ensemble
    mesurable
    (pour la mesure de Lebesgue) comme un ensemble dont la fonction
    caractéristique est KH-intégrable). Il ne suffit pas que
    soit KH-intégrable pour que
    le soit. Si
    est KH-intégrable et si
    est majorée par une fonction KH-intégrable, alors
    est KH-intégrable.
  • Le théorème fondamental de
    l'analyse s'exprime comme suit :

    • Soit
      dérivable sur
      de dérivée .
      Alors
      est KH-intégrable et
    • Soit
      KH-intégrable. Alors la fonction
      est continue et admet presque partout
      une dérivée égale à .


  • La notion d'intégrale impropre est inutile avec la
    KH-intégrale. En effet, soit
    est une fonction définie sur
    et telle que, pour tout
    élément de ,

    est KH-intégrable sur .
    Si
    existe et vaut ,
    alors
    est KH-intégrable sur
    et son intégrale vaut .
  • Le théorème de convergence
    monotone et le théorème de convergence dominée
    sont vrais avec la KH-intégrale, ce dernier devenant plus précisément
    un théorème de convergence encadrée (la raison étant que
    l'intégrabilité de
    n'entraîne pas celle de
Revenir en haut Aller en bas
http://filles.jeun.fr
 
Intégrale de Kurzweil-Henstock
Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut 
Page 1 sur 1

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Bibliothèques  :: ☆~☆ كتب جامعية تعليمية تضم تمارين دروس~ :: Bibliothèque de livre PRECIS CPGE-
Sauter vers: